सांख्यिकी में सहसंबंध
इस लेख को पढ़ने के बाद आप इस बारे में जानेंगे: - 1. सहसंबंध की परिभाषाएँ 2. सहसंबंध के प्रकार 3. गुणांक।
सहसंबंध की परिभाषाएँ:
कोलिन्स सांख्यिकी के शब्दकोश:
"दो या अधिक यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता। यदि दो चर ऐसे हैं, जब एक बदलता है, तो दूसरा संबंधित तरीके से ऐसा करता है, उन्हें सहसंबद्ध कहा जाता है। ”
शिक्षा का शब्दकोश, सीवी अच्छा:
"सहसंबंध दो या दो से अधिक श्रृंखलाओं में संबंधित प्रेक्षणों की प्रवृत्ति है, जो कि संबंधित श्रृंखला की औसत स्थिति से एक साथ भिन्न होती है।"
AM टटल:
"सहसंबंध दो या अधिक चर के बीच सह-भिन्नता का विश्लेषण है।"
कारैक्सटन और काउडेन:
"जब संबंध एक गुणात्मक प्रकृति का होता है, तो रिश्ते को खोजने और मापने और इसे एक संक्षिप्त सूत्र में व्यक्त करने के लिए अनुमानित सांख्यिकीय उपकरण सहसंबंध के रूप में जाना जाता है।" शिक्षा के क्षेत्र में, विभिन्न व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, शिक्षकों और मनोवैज्ञानिकों ने प्रयास किया। विभिन्न स्कूल विषयों में क्षमताओं के बीच संबंध की सीमा को जानें।
सहसंबंध की विधि से हम विभिन्न समस्याओं का अध्ययन करने में सक्षम हो सकते हैं जिनमें छात्रों की क्षमताओं के बीच संबंध शामिल हैं जैसे कि अंकगणित और पढ़ने की समझ, बच्चों की ऊंचाई और वजन आदि के बीच बुद्धि और पाठ्यक्रम की औसत की रेटिंग।
इसलिए सांख्यिकीय रूप से सहसंबंध को एक डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें दो या दो से अधिक उपायों के युग्मित स्कोर एक साथ भिन्न होते हैं। सहसंबंध की डिग्री का मापन सहसंबंध के गुणांक के रूप में व्यक्त किया जाता है। शैक्षिक और मनोवैज्ञानिक अनुसंधान में, सह-संबंधपरक विश्लेषण बहुत आवश्यक है।
निम्नलिखित कुछ प्रमुख क्षेत्र हैं जहां इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:
(ए) इसका उपयोग यह जानने के लिए किया जाता है कि डेटा किस हद तक परिकल्पना के अनुरूप है।
(बी) अन्य संबंधित चर (ओं) के आधार पर एक चर की भविष्यवाणी करना
(c) एक्सट्रूज़न चर (ओं) की पहचान करना और एक प्रयोग में उनके प्रभाव को अलग करना।
(d) इसका उपयोग परीक्षण परिणामों की विश्वसनीयता और वैधता निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
(e) सहसंबंध के गुणांक के आधार पर आगे के आँकड़ों की गणना करना।
सहसंबंध के प्रकार:
सहसंबंध की अवधारणा की स्पष्ट समझ रखने के लिए हमें विभिन्न प्रकार के सहसंबंधों पर चर्चा करनी चाहिए।
रिश्वत वितरण में रिश्तों को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
(ए) सकारात्मक सहसंबंध
(b) ऋणात्मक सहसंबंध
(c) शून्य समझौता या कोई संबंध नहीं
(d) रैखिक सहसंबंध
(ई) गैर-रैखिक या वक्र-रैखिक सहसंबंध।
(ए) सकारात्मक सहसंबंध:
जब एक चर में वृद्धि या कमी दूसरे चर में इसी वृद्धि या कमी लाती है, तो संबंध को सकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है। जब एक चर में प्रत्येक इकाई बढ़ती या घटती है, उसके बाद दूसरे चर में आनुपातिक वृद्धि या कमी होती है, तो संबंध पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध है।
एक सकारात्मक संबंध 0 से +1 तक होता है। जब यह +1 है तो सहसंबंध सही सकारात्मक सहसंबंध है।
मान लीजिए कि 100 छात्र दो परीक्षाओं में बिल्कुल एक जैसे हैं- जो छात्र एक परीक्षा में प्रथम स्कोर करते हैं, दूसरे में पहले स्थान पर रहने वाले छात्र, दूसरे परीक्षा में भी दूसरे स्थान पर रहते हैं। यह एक से एक पत्राचार पूरी सूची में है।
इसलिए संबंध परिपूर्ण है, क्योंकि प्रत्येक विषय की सापेक्ष स्थिति एक परीक्षण में ठीक वैसी ही है जैसी अन्य में और सहसंबंध का गुणांक + 1.00 है।
इसे निम्नलिखित उदाहरण की मदद से चित्रित किया जा सकता है:
उदाहरण:
उपरोक्त तालिका ए में पहले टेस्ट -1 में और टेस्ट -2 में भी स्कोर। और इसी तरह दोनों परीक्षणों में बी सेकंड, सी थर्ड, डी चौथे और ई पांचवें। यहाँ हम मानते हैं कि एक विषय में एक छात्र के अंकों की वृद्धि दूसरे विषय में अंकों की आनुपातिक वृद्धि से मेल खाती है। ऐसे सहसंबंध को पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है।
यदि पहली परीक्षा में एक छात्र के अंकों में वृद्धि दूसरे परीक्षण में अंकों की वृद्धि से मेल खाती है, लेकिन आनुपातिक रूप से नहीं, तो यह सकारात्मक सहसंबंध है, हम इसे निम्नलिखित ग्राफ़ की मदद से समझा सकते हैं:
(बी) नकारात्मक सहसंबंध:
जब एक गुण या चर का उच्च स्तर दूसरे की कम डिग्री के साथ जुड़ा होता है, तो नकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है। जहां एक चर में वृद्धि दूसरे चर में कमी होती है और इसके विपरीत, संबंध को नकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है। नकारात्मक सहसंबंध 0 से लेकर 1-1 तक हो सकता है।
जब एक चर में वृद्धि की प्रत्येक इकाई दूसरे चर में आनुपातिक इकाई की कमी लाती है, तो संबंध को पूर्ण नकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है और सहसंबंध के गुणांक को 1-1 द्वारा इंगित किया जाता है। हम इसे निम्नलिखित उदाहरण की मदद से समझा सकते हैं।
मान लीजिए कि एक परीक्षा में 5 छात्रों ए, बी, सी, डी और ई ने 80, 75, 70, 65 और 60 अंक हासिल किए हैं। दूसरे टेस्ट में उन्होंने क्रमशः 40, 45, 50, 55 और 60 अंक हासिल किए हैं।
उपरोक्त उदाहरण में छात्र A जिसने टेस्ट -1 में सर्वोच्च अंक प्राप्त किया है, उसने टेस्ट -2 में सबसे कम अंक प्राप्त किए हैं। छात्र बी जो टेस्ट -1 में नीचे (4 वें) के बाद टेस्ट -1 रैंक में दूसरे स्थान पर है। यहां प्रत्येक छात्र टेस्ट -1 में सूची के शीर्ष से दूर है, जबकि टेस्ट -2 में सूची के नीचे से।
तो टेस्ट -1 और टेस्ट -2 में उपलब्धि के बीच पत्राचार नियमित और निश्चित है लेकिन रिश्ते की दिशा उलटी है क्योंकि एक विषय में किसी व्यक्ति के अंकों की वृद्धि दूसरे में अंकों में कमी से मेल खाती है। यह संबंध एक परिपूर्ण नकारात्मक सहसंबंध है।
इसका चित्रण निम्नलिखित रेखांकन की सहायता से किया जा सकता है:
(ग) शून्य-समझौता या कोई सह-संबंध नहीं:
जब उस स्थिति में स्कोर या चर के दो सेटों के बीच कोई व्यवस्थित संबंध नहीं होता है, तो इसे शून्य-समझौते या नो-सहसंबंध के रूप में जाना जाता है। इसका अर्थ है कि शून्य सहसंबंध में समूह के सदस्यों द्वारा अंकों के दो सेटों के बीच किए गए स्कोर के बीच पत्राचार है। एक चर में परिवर्तन अन्य चर के परिवर्तन से जुड़ा कोई तरीका नहीं है।
उदाहरण के लिए, व्यक्तियों के जूते का आकार और मासिक आय, व्यक्ति की ऊंचाई और उनकी बुद्धिमता आदि सभी संबंधित नहीं हैं। जैसा कि शून्य सहसंबंध कोई सुसंगत संबंध नहीं दर्शाता है, इसलिए इसे .00 के गुणांक द्वारा व्यक्त किया जाता है। हम इस अवधारणा को चित्र की मदद से भी समझा सकते हैं जैसा कि चित्र 12.3 में दिखाया गया है।
(डी) रैखिक सहसंबंध:
जब दो चर के बीच का संबंध आनुपातिक होता है और इसे एक सीधी रेखा द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो इसे रैखिक सहसंबंध कहा जाता है। मान लीजिए कि पाँच व्यक्ति कहते हैं कि A, B, C, D और E. इन व्यक्तियों का मासिक वेतन रु। 4000, रु। 5000, रु। 6000, रु। 7000 और रु। क्रमशः 8000।
तो उनकी वार्षिक आय उनके मासिक वेतन का 12 गुना होगी। यदि हम 'X'-धुरी पर मासिक वेतन और 'Y- अक्ष' में वार्षिक आय दिखाते हुए एक ग्राफ बनाते हैं, तो परिणाम अंजीर के रूप में एक सीधी रेखा ग्राफ होगा। 12.4-1, 2. इस संबंध को रैखिक सहसंबंध कहा जाता है। ।
(ई) वक्र रैखिक सहसंबंध:
जब चर के बीच संबंध पूरी श्रृंखला में आनुपातिक नहीं होता है और इसे एक वक्र रेखा द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे वक्र रैखिक सहसंबंध कहा जाता है। इसे गैर-रेखीय सहसंबंध के रूप में भी जाना जाता है। उदाहरण के लिए, पहले वेरिएबल 'ए' में वृद्धि के साथ दूसरा वेरिएबल 'बी' एक विशेष बिंदु तक बढ़ता है, इसके बाद वेरिएबल-ए में वृद्धि के साथ वेरिएबल-बी कम हो जाता है।
यदि चर-ए और चर-बी के बीच यह संबंध ग्राफ बनाने की साजिश रचता है तो एक घुमावदार रेखा होगी (चित्र। 12.4-3, 4)।
सहसंबंध गुणांक:
वह सांख्यिकीय विधि जिसमें संबंध को मात्रात्मक पैमाने पर व्यक्त किया जाता है, सहसंबंध का गुणांक कहलाता है। यह एक संख्यात्मक सूचकांक है जो हमें बताता है कि दो चर किस सीमा तक संबंधित हैं और एक चर में भिन्नताएं किस हद तक दूसरे में भिन्नता के साथ बदलती हैं।
"सहसंबंध का गुणांक एक शुद्ध संख्या है, जो आमतौर पर + 1 से 0 से 1 तक भिन्न होती है, जो टिप्पणियों के दो (या अधिक) श्रृंखलाओं के बीच मौजूद संबंधों की डिग्री को दर्शाता है" - सीवी गुड।
सहसंबंध के गुणांक को दो तरीकों से नामित किया गया है। कार्ल पियर्सन के उत्पाद क्षण में इसे 'आर' के रूप में व्यक्त किया गया है। स्पीयरमैन के रैंक अंतर सहसंबंध में इसे 'p' (rho) के रूप में व्यक्त किया गया है। एक सकारात्मक सहसंबंध इंगित करता है कि एक चर की बड़ी राशि दूसरे की बड़ी मात्रा के साथ जाती है। तो एक पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध 1.00 के गुणांक द्वारा व्यक्त किया गया है।
इस प्रकार एक सकारात्मक सहसंबंध 9.00 से + 1.00 तक होता है। एक नकारात्मक सहसंबंध इंगित करता है कि एक चर की छोटी राशि दूसरे की बड़ी राशि के साथ जाती है। यह एक उच्च डिग्री का गुण है जो दूसरे की कम डिग्री के साथ जुड़ा हो सकता है।
एक पूर्ण नकारात्मक सहसंबंध - 1.00 के गुणांक द्वारा व्यक्त किया गया है। इस प्रकार एक नकारात्मक सहसंबंध शून्य से लेकर 1.00 तक होता है। जब दो चर सभी संबंधित नहीं होते हैं तो गुणांक शून्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।
सहसंबंध की गुणांक की व्याख्या:
हमें जो मूल्य मिलता है वह केवल एक रिश्ते से बाहर निकलने का संकेत देता है। लेकिन यह इंगित नहीं करता है कि यह महत्वपूर्ण है या नहीं। इसलिए हम उनकी स्वतंत्रता की डिग्री या 'df' के संबंध में .05 और .01 के स्तर पर r के महत्व का परीक्षण करते हैं। द्विवार्षिक संबंध में df को (N-2) के रूप में गिना जाता है।
उदाहरण के लिए, यदि r = 0.55 और N = 50 है तो r की व्याख्या करने के लिए हमें टेबल-सी में प्रवेश करना होगा। यहाँ df = (N-2) = (50-2) = 48. तालिका में प्रवेश करते हुए हमने पाया कि df = 50 (df 48 के समीप) का मान .05 स्तर पर .273 और at .01 है। स्तर है ।354।
इन दोनों मूल्यों की तुलना में हमारा r मान 0.55 अधिक है। इसलिए r, .05 के स्तर और .01 के स्तर पर महत्वपूर्ण है। इसलिए यदि r मान किसी महत्वपूर्ण स्तर के मूल्य से अधिक है तो यह महत्वपूर्ण होगा और यदि यह महत्वपूर्ण स्तर के मूल्य से कम है तो यह महत्वहीन होगा।
आर के गुण:
1. यदि एक स्थिर संख्या को एक या दोनों चर में जोड़ा जाता है तो सहसंबंध का गुणांक अपरिवर्तित रहता है।
2. यदि एक स्थिर संख्या को एक या दोनों चर से घटाया जाता है, तो सहसंबंध का गुणांक अपरिवर्तित रहता है।
3. यदि एक स्थिर संख्या को एक या दोनों चर से गुणा किया जाता है, तो सहसंबंध का गुणांक अपरिवर्तित रहता है।
4. यदि चर और अचर दोनों को एक स्थिर संख्या से विभाजित किया जाता है तो सहसंबंध का गुणांक अपरिवर्तित रहता है।
सहसंबंध के गुणांक का उपयोग (आर):
1. दो चर आर के बीच संबंध की डिग्री या अंतर निर्भरता का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।
2. स्वतंत्र चर आर से आश्रित चर का अनुमान लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है।
3. परीक्षण परिणाम की विश्वसनीयता निर्धारित करने के लिए r का उपयोग किया जाता है।
4. परीक्षण स्कोर आर की वैधता निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
5. शैक्षिक और व्यावसायिक मार्गदर्शन में निर्णय लेने के लिए r का उपयोग किया जाता है।
6. अन्य आँकड़ों की गणना करने के लिए जैसे कारक विश्लेषण, प्रतिगमन भविष्यवाणी और एकाधिक सहसंबंध आदि आर की आवश्यकता होती है।
सहसंबंध के गुणांक की गणना:
एक द्विभाजित वितरण से सहसंबंध के गुणांक के दो तरीके हैं।
1. स्पीयरमैन की रैंक अंतर विधि:
सहसंबंध गुणांक शिक्षा और मनोविज्ञान के लिए मूल्यवान है जो परीक्षण स्कोर और प्रदर्शन के अन्य उपायों के बीच संबंध का एक उपाय है। लेकिन कई स्थितियों में हमारे पास स्कोर नहीं हैं। हमें डेटा के साथ काम करना होगा जिसमें किसी दिए गए विशेषता में अंतर केवल रैंकों द्वारा या किसी व्यक्ति को कई वर्णनात्मक श्रेणियों में वर्गीकृत करके व्यक्त किया जा सकता है।
तो ऐसे लक्षणों में व्यक्तियों के बीच अंतर को मेरिट के क्रम में विषयों को क्रमबद्ध करके व्यक्त किया जा सकता है जब ऐसे अंतरों को सीधे मापा नहीं जा सकता है। रैंकिंग से हमारा मतलब है कि योग्यता के क्रम में व्यक्तियों को रखना।
उदाहरण के लिए, व्यक्तियों को ईमानदारी, एथलेटिक क्षमता, बिक्री कौशल या सामाजिक समायोजन के लिए योग्यता के क्रम में रैंक किया जा सकता है जब इन जटिल व्यवहारों को मापना असंभव है।
दो सेटों के रैंक के बीच सहसंबंध की गणना करने में, विशेष विधियों को तैयार किया गया है। जब हमारे पास कुछ सेट (केवल बहुत छोटा है) के दो सेट होते हैं, उस समय इन स्कोर को रैंक करना और पियर्सन के रैंक अंतर विधि द्वारा सहसंबंध (ρ) के गुणांक की गणना करना उचित है।
Ρ की मान्यताओं:
डेटा बुरी तरह से तिरछा है या बहुत छोटा है।
जब मात्रात्मक माप संभव नहीं है।
डेटा जनसंख्या वितरण की कुछ विशेषताओं से मुक्त या स्वतंत्र हैं
डेटा ऑर्डिनल स्केल में हैं।
Ρ की संगणना:
उदाहरण 1:
रैंक अंतर विधि द्वारा स्कोर के दो सेटों के बीच सहसंबंध के सह-कुशल का पता लगाएं।
इतिहास और भूगोल में क्रमशः 5 छात्रों के अंक नीचे दिए गए हैं:
उपाय:
चरण 1
रैंक 1 से शुरू करके, रैंक 1 से उच्चतम स्कोर तक रैंक करें और R 1 कॉलम (कॉलोनी 4) के तहत रैंक लिखें।
चरण 2
रैंक -1 से शुरू होने वाले स्कोर के दूसरे सेट को उच्चतम स्कोर पर रैंक करें और R 2 कॉलम (कॉल 5) के तहत रैंक लिखें।
चरण 3
आर 1 से आर 2 घटाकर डी खोजें (यानी आर 1 - आर 2 ) कॉलोनी में। 6।
चरण 4
D (col-7) को चुकता करके D 2 ज्ञात कीजिए। इसके बाद comp D 2 को कंप्यूट में मान जोड़ें। 7।
कदम दर 5
सूत्र लगाओ और परिणाम पाओ
तो इतिहास और भूगोल के स्कोर के बीच सहसंबंध का गुणांक 0.43 है।
पी की गणना जब डेटा रैंक में हैं।
उदाहरण:
निर्धारित करें कि उनके निर्णय किस हद तक समझौते में थे।
एक संगीत प्रतियोगिता में दो जजों ने 8 छात्रों को नीचे दिया है:
उपाय:
चरण 1:
चूंकि स्कोर रैंक में हैं, इसलिए न्यायाधीश -1 के रैंक से न्यायाधीश -2 की रैंक घटाकर डी का पता लगाएं।
चरण 2:
D 2 और 2D 2 का पता लगाएं।
चरण 3:
मूल्य को सूत्र में रखें और परिणाम प्राप्त करें।
तो निर्णय के बीच समझौते की बात 0.90 है। बंधे रैंक के लिए कम्प्यूटिंग पी
उदाहरण:
रैंक अंतर विधि में दो सेट के स्कोर के बीच सहसंबंध के गुणांक की गणना करें।
नीचे दो समानांतर परीक्षणों पर 8 छात्रों के अंक दिए गए हैं:
उपाय:
चरण 1:
टेस्ट -1 में स्कोर रैंक। टेस्ट -1 ई में पहले, सी 2 वें, ए और एफ एक ही स्कोर प्राप्त करते हैं। यह निश्चित है कि इन दोनों छात्रों को तीसरी और चौथी रैंक भरना है। इसलिए हम दोनों को 3 + 4/2 = 3.5 पर रैंक करते हैं। अगला B 5 वाँ है। डी और जी ने एक ही अंक प्राप्त किया। तो उनकी रैंक होगी
चरण 2:
उसी तरह जैसे हमने टेस्ट -1 में स्कोर को रैंक किया है, टेस्ट -2 में स्कोर रैंक करें।
चरण 3:
D 1 को R 1 से घटाकर D की गणना करें
चरण 4:
D 2 की गणना करें और 2 D 2 का पता लगाएं
कदम 5:
सूत्र लगाओ और परिणाम पाओ
तो दो परीक्षणों के स्कोर के बीच सहसंबंध का गुणांक 0.87 है।
रैंक अंतर विधि के गुण:
1. यह N के छोटे होने पर सहसंबंध का अनुमान लगाने का एक त्वरित और सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है।
2. जब डेटा उस समय क्रमिक पैमाने पर होता है, तो हम सहसंबंध का आकलन करने के रैंक अंतर विधि का उपयोग करते हैं।
रैंक अंतर विधि के Demerits:
1. रैंक अंतर विधि श्रृंखला में पदों का हिसाब लेती है। यह आसन्न स्कोर के बीच अंतराल के लिए कोई भत्ता नहीं बनाता है। उदाहरण के लिए, एक परीक्षण में तीन छात्रों के स्कोर 90, 89 और 70 हैं। उन्हें 1, 2 और 3 का स्थान दिया जाएगा, हालांकि 90 और 89 के बीच का अंतर 89 और 70 के बीच के अंतर से बहुत कम है।
2. स्कोर को रैंक में तब्दील करने में सटीकता खो सकती है, विशेष रूप से तब जब संबंधों की संख्या हो।
3. N से 30 से अधिक बड़े होने पर डेटा से पी की गणना करना मुश्किल है।
2. कार्ल पियर्सन के उत्पाद क्षण विधि:
सहसंबंध के गुणांक का आकलन करने के लिए एक और कुशल विधि कार्ल पियर्सन द्वारा विकसित की गई है जिसे लोकप्रिय रूप से सहसंबंध के उत्पाद क्षण के रूप में जाना जाता है। इसे उत्पाद क्षण कहा जाता है क्योंकि "माध्य से विचलन का योग (कुछ शक्ति तक बढ़ा हुआ) और एन द्वारा विभाजित एक पल कहा जाता है। जब V और y में संगत विचलन को एक साथ गुणा किया जाता है, एन द्वारा संक्षेपित और विभाजित किया जाता है
प्रतीकात्मक रूप से सहसंबंध के गुणन क्षण को 'r' के रूप में नामित किया गया है।
उत्पाद क्षण में सहसंबंध का गुणांक है:
उत्पाद-मोमेंट सहसंबंध की मान्यताएं:
1. सामान्य वितरण:
वे चर जिनसे हम सहसंबंध की गणना करना चाहते हैं, उन्हें सामान्य रूप से वितरित किया जाना चाहिए। अनुमान यादृच्छिक नमूनाकरण से लगाया जा सकता है।
2. सहसंबंध में रैखिकता:
उत्पाद पल सहसंबंध को सीधी रेखा में दिखाया जा सकता है जिसे रैखिक सहसंबंध के रूप में जाना जाता है।
3. निरंतर श्रृंखला:
चर का मापन एक सतत पैमाने में होना चाहिए।
उत्पाद मोमेंट सहसंबंध की संगणना:
सहसंबंध के गुणांक गुणांक की गणना दो अलग-अलग स्थितियों में की जा सकती है:
(ए) जब डेटा अनियंत्रित हैं
(b) जब डेटा को समूहीकृत किया जाता है
(ए) अनियंत्रित डेटा से आर की गणना:
अनियंत्रित डेटा में सहसंबंध के गुणांक की गणना आम तौर पर दो तरीकों से की जाती है:
(i) जब विचलन साधनों से लिया जाता है
(ii) रॉ स्कोर या मूल स्कोर से गणना।
(i) उत्पाद क्षण सहसंबंध का अनुमान लगाना जब साधनों से विचलन लिया जाता है।
जब दो वितरण एक्स और वाई के माध्यम से इस तरह से विचलन लिया जाता है, तो सूत्र का उपयोग अनियंत्रित डेटा से गणना करने के लिए किया जाता है:
उदाहरण:
उत्पाद क्षण विधि में अंग्रेजी और MIL के एक परीक्षण में 12 छात्रों के अंकों के सहसंबंध के गुणांक की गणना करें।
उपाय:
चरण 1
अंग्रेजी (X) में प्राप्तांकों का अर्थ और MIL (Y) में प्राप्तांकों का अर्थ ज्ञात करें। यहाँ M x = 62.5, M y = 30.4।
चरण 2
MIL परीक्षण में प्रत्येक अंक का विचलन (x) अंग्रेजी परीक्षा (तालिका -12.6, कॉलोनी -4) और विचलन (y) का पता लगाएं।
चरण 3
सभी x s और सभी y s का वर्ग और x 2 और y 2 ज्ञात करें। कर्नल में x 2 s जोड़ें। 6 और वाई 2 को एस । 7 और andx 2 और findy 2 का पता लगाएं।
चरण 4
X चर (col। 8) को प्राप्त करने के लिए बीजीय संकेतों के संबंध में Y चर (col। 5) के विचलन के साथ एक्स चर (कर्नल 4) के विचलन को गुणा करें। फिर कॉल में मान जोड़ें। 8 और ∑xy प्राप्त करें।
कदम दर 5
सूत्र में मान रखें और परिणाम प्राप्त करें।
तो अंग्रेजी में अंकों के बीच सहसंबंध और 12 छात्रों के एमआईएल में स्कोर 0.78 है।
(ii) मूल अंकों या कच्चे अंकों से सहसंबंध के गुणन के क्षण की गणना:
विचलन की गणना के बिना हम कच्चे अंकों से या सीधे मूल स्कोर से आर की गणना कर सकते हैं।
इस मामले में हम निम्नलिखित सूत्र लागू करते हैं:
उदाहरण:
उत्पाद विधि में 10 छात्रों के गणित और विज्ञान की परीक्षा से प्राप्त अंकों के निम्नलिखित दो सेटों के सहसंबंध के गुणांक की गणना करें:
उपाय:
चरण 1
सभी एक्स एस और वाई एस को स्क्वायर करें
चरण 2
प्रत्येक X को संबंधित Y से गुणा करके X और Y का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
चरण 3
(X, ∑Y, ∑X प्राप्त करने के लिए X s (col। 1), Y s (col। 2), X 2 (col। 3), Y 2 (col। 4) और XY (col। 5) जोड़ें। क्रमशः 2 ∑Y 2 और YXY।
चरण 4
इन मूल्यों को सूत्र में रखें और परिणाम प्राप्त करें।
तो स्कोर के दो सेटों के बीच सहसंबंध का गुणांक 0.92 है।
(बी) समूहीकृत डेटा से आर की गणना:
उपरोक्त अनुभाग में जिस पद्धति पर हमने चर्चा की है, उसे N के छोटे होने पर नियोजित किया जा सकता है। लेकिन जब एन बड़ा होता है, तो उपरोक्त विधि में कंप्यूटिंग आर श्रमसाध्य और समय लेने वाला होता है। हम 'तितर बितर चित्र' या 'बिखरे हुए चने' के रूप में ज्ञात आरेख या चार्ट के रूप में डेटा की व्यवस्था करके कठिनाई पर आ सकते हैं। इसे टू-वे फ्रिक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन या बिवरिएट फ़्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी जाना जाता है। आइए विचार करें कि एक बिखरे हुए आरेख को कैसे तैयार किया जाए।
स्कैटर आरेख कैसे तैयार करें:
उदाहरण के लिए एक हाई स्कूल के 9 वीं कक्षा के 50 छात्रों ने एक समूह खुफिया परीक्षण (एक्स) और बीजगणित परीक्षण (वाई) पर निम्नलिखित अंक प्राप्त किए।
आइए इन स्कोर के लिए एक स्कैटर आरेख का निर्माण करें।
आइए हम बाएं हाथ के मार्जिन के साथ बुद्धि परीक्षण के वर्ग अंतराल को ऊपर से नीचे की ओर (चित्र 12.5) और बीजगणित परीक्षण के वर्ग अंतराल को बाएं से दाएं के शीर्ष पर ले जाएं।
मान लीजिए कि हम आरेख में 1 छात्र के स्कोर को प्लॉट करना चाहते हैं। प्रथम छात्र के पास ४ 1st का बुद्धिमत्ता स्कोर है और १ student३ का बीजगणितीय स्कोर है। यहाँ हमें कक्षा के अंतराल के अनुरूप सेल में, ४५-४९ बुद्धिमत्ता में और १17०-१ in ९ में बीजगणित परीक्षण में एक टैली डालना है।
इसी तरह हमें सभी 50 छात्रों के लिए दो अंकों, बुद्धि परीक्षण और बीजगणित परीक्षण के अनुसार ऊंचाई डालनी होगी। फिर प्रत्येक कोशिका की लम्बाई को संख्या में गिना और अनुवादित किया जाएगा। इसके बाद प्रत्येक पंक्ति की संख्या जोड़ी जाएगी और प्रत्येक परीक्षण अंतराल के लिए आवृत्ति (X चर) f x पता चलेगा।
उदाहरण के लिए अंजीर में। पहली पंक्ति के लिए 12.5 f x 1, 2 पंक्ति 6, तीसरी पंक्ति 7 और इसी तरह 8 वीं पंक्ति 2 है। उसी तरह से प्रत्येक कॉलम के सेल नंबर जोड़े जाएंगे और प्रत्येक कक्षा के अंतराल के लिए आवृत्ति होगी बीजगणित परीक्षण (Y चर) f y निर्धारित किया जाएगा।
उदाहरण के लिए, 1 कॉलम के लिए f y 3, 2 कॉलम 1, 3rd कॉलम 2 और इसी तरह 10 वां कॉलम 2 है। सभी लम्बे अक्षरों को सूचीबद्ध किए जाने के बाद, प्रत्येक सेल में आवृत्ति डायग्राम पर दर्ज और दर्ज की जाती है। तितर बितर चित्र तब एक सहसंबंध तालिका है।
सहसंबंध तालिका से 'आर' की गणना:
जब N आकार में बड़ा या मध्यम होता है, तो डेटा को एक द्विभाजित आवृत्ति वितरण में समूहीकृत करके r की गणना करना आसान होता है और वास्तविक अर्थ के बजाय मान से विचलन लेते हुए r की गणना करता है।
अनुमानित विधि के अनुसार समूहीकृत डेटा से कंप्यूटिंग का सूत्र इस तरह से पढ़ता है:
आइए हम तितर बितर आरेख से मिली सहसंबंध तालिका से r xy की गणना करते हैं।
एक बार सहसंबंध तालिका तैयार हो जाने पर हम सूत्र का उपयोग करके आर का पता लगा सकते हैं:
चरण 1
बीजगणित स्कोर के प्रत्येक कॉलम की आवृत्तियों को जोड़ें और f y प्राप्त करें। फिर बुद्धि परीक्षण की प्रत्येक पंक्ति की आवृत्तियों को जोड़ें और f x प्राप्त करें।
चरण 2
इंटेलिजेंस टेस्ट स्कोर के लिए माध्य मान लें (जैसा कि हमने कंप्यूटिंग में अर्थ ग्रहण किया मतलब विधि में चर्चा की है) और इसे विशिष्ट बनाने के लिए उस कॉलम की एक डबल लाइन ड्रा करें।
इसी तरह बीजगणित परीक्षण के अंकों के लिए एक माध्य मान लें और इसे अलग बनाने के लिए उस पंक्ति की एक दोहरी रेखा खींचें। इस वर्तमान समस्या में सीआई 40-44 अर्थात 42 के मध्य-बिंदु का परीक्षण करने के लिए, और बीजगणित परीक्षण के लिए सीआई 140-149 के मध्य-बिंदु अर्थात 144.5 को मान लिया गया है। अब हम अंजीर में संकेत के अनुसार इस बिंदु से x 'और y' ले सकते हैं।
चरण 3
X को ' x के साथ गुणा करें और fx ज्ञात करें' और उसी तरह y को 'fy से गुणा करें और fy का पता लगाएं'।
चरण 4
X 'कॉलम के साथ fx' कॉलम को गुणा करें और fx ' 2 और f' पंक्ति को 'y' और 'fy' 2 प्राप्त करें।
कदम दर 5
अगला काम fx'y का पता लगाना है। ' बीजीय संकेतों के लिए उचित भार देने वाले विशेष सेल की पंक्ति के y के साथ स्तंभ के x 'को गुणा करें। ब्रैकेट के भीतर सेल के शीर्ष कोने पर उत्पाद लिखें।
फिर उत्पाद के साथ सेल आवृत्ति को गुणा करें और उस सेल के fx'y 'का मान प्राप्त करें और इसे सेल के निचले बाएं कोमर पर लिखें।
उदाहरण के लिए, सेल 20-24 और 180-189 की आवृत्ति 1 है। यहाँ x 'is -4 है और y' +4 है, x 'और y' का उत्पाद है-16 है। सेल आवृत्ति 1 के साथ उत्पाद -16 को गुणा करके हम उस सेल के लिए fx'y '= -16 प्राप्त करते हैं।
इसी तरह हम सभी कोशिकाओं के लिए fx'y 'की गणना कर सकते हैं। कक्षों की पंक्ति के मान को जोड़कर हम fx'y 'कॉलम के मान प्राप्त कर सकते हैं। इन मूल्यों को जोड़ने पर हमें xfx'y ’मिलता है। शुद्धता की जाँच करने के लिए fx'y 'पंक्ति को प्राप्त करने के लिए fx'y' कॉलम के मान जोड़ें और इन मानों को जोड़कर हम alsofx'y 'भी प्राप्त कर सकते हैं (तालिका -12.8 देखें)
कदम दर 6
Fx ', fx' 2, fy 'और fy' 2 और 'xfx', ∑fx ' 2, yfy' और ∑fy ' 2 ' का मान क्रमशः जोड़ें।
कदम दर 7
सूत्र में मान डालें और परिणाम प्राप्त करें।
